Найдите все значения х, при которых значения выражений x^2-4; 5x+3; 3x+2 будут последовательными членами арифметической прогрессии.

Т.к. выражения являются последовательными членами арифм. прогрессии, то разница между ними одинаковая:

5x + 3 - (x² - 4) = 3x + 2 - (5x + 3)

5x + 3 - x² + 4 = 3x + 2 - 5x - 3

-x² + 7x + 8 = 0

x² - 7x - 8 = 0

D = b² - 4ac = 49 - 4*(-8) = 49 + 32 = 81 = 9²

x₁ = (7 + 9)/2 = 16/2 = 8

x₂ = (7 - 9)/2 = -2/2 = -1

Ответ: -1; 8.

X^2-4 - можно считать 1 членом прогрессии (а)

5x+3 - 2 член (а1)

3x+2 - 3 член(а2)

Исходя из знаний об арифметической прогрессии (d = a1 - a):

d = 5x+3 - (x^2-4) = 5x+3-X^2+4 = -x^2+5x+7

d = 3x+2 - (5x+3) = 3x+2-5x-3 = -2x-1

d=d, значит

-x^2+5x+7 = -2x-1, переносим всё в 1 сторону

x^2 - 5x - 7 - 2x - 1 = 0

x^2 - 7x - 8 = 0 решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта

1) D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4*1*8 = 49 +32 = 81 = 9^2

2) x = (-b +- √D) / 2a = (7 +- 9) / 2

x1 = (7+9) / 2 = 8

x2 = (7-9) / 2 = -1

Ответ: -1 и 8.