9 классыМатематика 17 баллов У короля есть 10 мудрецов.Однажды он выдал первому мудрецу одну золотую мнету,второму две,третьему три и т.д.Затем он сказал ,что каждую минуту мудрецы могут попросить его выдать девяти из них по одной монете.Если в какой то момент у всех мудрецоа монет будет поровну,то они могут их забрать.Смогут ли мудрецы забрать золото?

Исходное положение:

1 мудрец - 1 монета;  2 мудрец - 2 монеты; ...; 10 мудрец - 10 монет.

1). Очевидно, что в течение какого-то количества минут первый мудрец получит а монет, второй: а - 1 монету, третий: а - 2 монеты, ..., десятый получит а - 9 монет.

Тогда у первого станет: а+1 монета, у второго: (а+2)-1 = а+1 монета, у третьего: (а+3)-2 = а+1 монета и т.д. до 10-го мудреца, у которого станет: (а+10)-9 = а+1.

Таким образом, в сумме получим:  10*(а+1)

Но, так как мудрецов 10, и, в итоге, у каждого одинаковое количество монет, то всю эту сумму можно представить, как 10b.

Получили первое уравнение:  10*(а+1) = 10b, где а - количество минут, которое мудрецам выдавали по 9 монет, b - конечное равное количество монет у каждого мудреца.

2). Известно, что в исходном положении мудрецам было выдано:

                1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 монет

В течение некоторого количества минут а, они получили еще 9а монет, что составило в сумме:  55 + 9а монет. Так как окончательное количество монет должно быть кратно 10, то второе уравнение:

                55 + 9а = 10b

Решая систему, получим:   10а + 10 = 55 + 9a

                                               10a - 9a = 55 - 10

                                                         a = 45 (мин.)    b = 46 (монет)

Ответ: да, смогут через 45 минут. У каждого мудреца на руках окажется по 46 монет.