Даю 50 баллов! Срочно!!!
Пусть a,b,c - длины сторон какого-то треугольника. Доказать, что выполняется неравенство. (На картинке)

ну как же x ; y; z могут быть любыми , они однозначно выражаются через a ,b , c , а эти числа связаны неравенством треугольника

Взяв любые x, y и z, мы можем перейти к a=x+y; b=x+z; c=y+z, для которых неравенство треугольника уже выполнено, то есть они являются сторонами треугольника. Но на самом деле для нас это неважно, так как принципиален только переход от a, b и c к x, y и z, который всегда возможен.

Надо доказать, что для сторон треугольника выполнено неравенство

a²b+b²c+c²a+ab²+bc²+ca²>a³+b³+c³+2abc. Трюк, который я собираюсь использовать, придуман не мной, но он очень эффективен в подобного типа задачах. Он сводится к тому, что мы используем замены a=x+y; b=x+z; c=y+z. То, что такие положительные x, y, z существуют (и, кстати, определены однозначно) следует из возможности вписать в треугольник окружность. Стороны точками касания при  этом оказываются разбиты на отрезки, которые разбиваются на три пары равных отрезков - это следует из равенства отрезков касательных. Преимущество такой замены следует из того, что в отличие от сторон треугольника, которые связаны неравенством треугольника, отрезки x, y и z могут быть любыми. После указанной замены и приведения подобных членов (конечно, это требует некоторых навыков и аккуратности) получаем неравенство

2(x³+y³+z³)+5(x²y+xy²+x²z+xz²+y²z+yz²)+12xyz>

2(x³+y³+z³)+5(x²y+xy²+x²z+xz²+y²z+yz²)+4xyz,

которое очевидно.

a+c > b ;  a+b>c  ;  b+c >a   (неравенство треугольника ) ⇒                

 ( a -b+c)· ( a+b-c)·(b+c-a) >0 ⇔ ( a-(b-c))·( a+(b-c))·( b+c -a) >0

( a²-b²+2bc-c²) ·( b+c-a) >0 ⇔ a²b+a²c-a³-b³-

b²c+ab²+2b²c+2bc²-2abc -c²b -  c³ +c²a > 0  ⇔ a²b + a²c + ab² +

b²c + bc²  +c²a > a³ +b³ +c³ + 2abc