исследуйте функцию: y=1/4 x^2(x-4)^2
и постройте её график

Исследование функций по схеме:

1. Область определения функции : ограничений нет, х ∈ R.

2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты: разрывов функции нет, значит, функция непрерывна.  Поэтому и вертикальных асимптот нет.

3. Точки пересечения функции с осями координат.

С осью Оу при х = 0. Это точка (0; 0).

С осью Ох при у = 0. Надо решить уравнение (1/4) x²(x-4)² = 0.

Получаем 2 точки пересечения: х = 0, х = 4.

4. Четность, нечетность.

f(-х) = (1/4) (-x)²(-x-4)² = (1/4) x²(x+4)² ≠ f(x), ≠ -f(x).

Функция не чётная и не нечётная.

5. Периодичность: не периодическая.

6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.

Находим производную: y' = ((1/4) x²(x-4)²)' = ((1/4) x²(x² - 8x + 16))' =

= (1/4)*(2x*(x² - 8x + 16) + (2x-8)*x²) = (1/4)*(2x³ - 16x² + 32x + 2x³ - 8 x²) =

= (1/4)*(4x³ - 24x² + 32x) = x³ - 6x² + 8x = x(x² - 6x + 8).

Приравниваем её нулю: x(x² - 6x + 8) = 0.

От первого множителя корень х1 = 0.

x² - 6x + 8 = 0.   д = 36 - 4*8 = 4.  х2 = (6 + 2)/2 = 4, х3 = (6 - 2)/2 = 2.

Имеем 3 критических точки: х = 0, х = 2 и х = 4.

Находим знаки производной на полученных промежутках.

х =      -1       0       1        2       3      4       5

y' =   -15      0       3 0 -3 0 15.

Видим, что при прохождении через точки х = 0 и х = 4 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через точку х = 2 – меняет знак с плюса на минус, соответственно это будет максимум.

Промежутки возрастания (y' > 0): (0; 2) ∪ (2; +∞).

Убывания: (-∞; 0) ∪ (2; 4).

7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

Вторая производная равна y'' = 3x² - 12x + 8. Приравняем нулю:

3x² - 12x + 8 = 0.    Д = 144 - 4*3*8 = 144 - 96 = 48.

х1 = (12 + √48)/6 = 2 + (2√3/3) ≈ 3,1547,

х2 = (12 - √48)/6 = 2 - (2√3/3) ≈ 0,8453. Это и есть точки перегиба.

8. Наклонные асимптоты: нет.

9. Построение графика.  Таблица точек:

x y

-1.0 6.25

-0.5 1.27

0 0

0.5 0.77

1.0 2.25

1.5 3.52

2.0 4

2.5 3.52

3.0 2.25

3.5 0.77

4.0 0

4.5 1.27

5.0 6.25