25 БАЛЛОВ. Используя графический метод, найдите значения параметра, при которых система [tex]$$\left\{\begin{array}{l}\left|xight|=y-a,\\ {x}^{2}+{y}^{2}=9\end{array}ight.$$[/tex] имеет:

а) ровно два решения,

б) ровно три решения.

Ответ: 2 решения :   a∈ {-3*√2} ∪ (-3;3)

            3 решения :   a=-3

Объяснение:

Первое уравнение системы:

y=|x|+a -два луча выходящие из точки (0;a) в направлении выше прямой y=a  под углом 45 градусов к осям координат. (y=+-x)

В зависимости от а, точка выхода лучей едет по оси y.

Второе  уравнение:

x^2+y^2=3^2  -окружность  с центром в начале координат и  радиусом R=3.

Найдем такое а, что график  первого уравнения касается окружности в двух точках (5 случай на рисунке). Это  предельный случай.

Тк  радиус перпендикулярен к точке касания, а луч наклонен под углом 45 градусов к оси x, то и радиус проведенный к точке касания наклонен  под углом: 90-45=45 градусов к оси x.

Откуда:

a=-R/cos(45)= -3*√2

На  рисунке  мы видим  5  случаев  пересечений графика первого уравнения  с окружностью.

Рассмотрим каждый:

1.  a=3 - ( 1  решение )

2) a∈ (-3;3) - (2 решения)

3) a=-3  - (3 решения)

4) a∈ (-3*√2 ;-3)  - (4 решения)

5) a= -3*√2  -(2 решения)

При всех остальных a решений  не будет.

Таким образом можно записать ответ:

2 решения :   a∈ {-3*√2} ∪ (-3;3)

3 решения :   a=-3