Вычислить двойной интеграл D (x-y)dxdy, где область определения D ограничена линиями y=x в степени 2, х=1, y=0

Построим график ограничивающих линий, чтобы лучше понимать область интегрирования:

 ^ y

 |

y=x²

 | D

 |______> x

   0 1

Область интегрирования D находится между кривой y = x^2, осью y, прямой x = 1 и осью x.

Запишем двойной интеграл:

∬D (x - y) dxdy

Вычислим сначала внутренний интеграл по x от 0 до x^2:

∫(x^2 to 0) (x - y) dx = x^2/2 - xy(x^2 to 0) = x^3/2 - x(x^2) = -x^3/2

Теперь вычислим внешний интеграл по y от 0 до 1:

∫(0 to 1) [-x^3/2] dy = [-x^3/2 * y](0 to 1) = -x^3/2

Таким образом, двойной интеграл D (x-y)dxdy равен -x^3/2, где x принадлежит от 0 до 1.

Ответ: -1/2.