Число 10 разложите на два слагаемых так,чтобы сумма их кубов была наименьшей

Первое число обозначим х, тогда второе 10 - х. Сумма кубов:

y = x^3 + (10-x)^3 = x^3 + 1000 - 300x + 30x^2 - x^3 = 30x^2 - 300x + 1000

Минимальной эта сумма будет тогда, когда производная равна 0. Так как первый коэффициент параболы положительный, то ветви направлены вверх, а значит, вершина - это минимум.

y ' = 60x - 300 = 0

60x = 300; x = 300/60 = 5; 10-x = 5.

Сумма кубов будет наименьшей, когда числа равны друг другу и равны 5.

x - первое число ; ( 10 -x ) - второе ,  y =  x³ + (10 -x )³ - сумма кубов

x ∈ [0 ;10 ] ; y ' = 3x² - 3 (10 -x )² = 3 ( x-10 +x )· (x + 10 -x ) = 60·(x-5)  

y ' = 0 ⇔ x = 5 ,  при переходе через точку 5 производная

меняет свой знак с  -  на  +  ⇒  5 -точка минимума функции  и

так как она единственная точка минимума на отрезке [0 ;10]

(слева  от точки  5 функция убывает , а справа возрастает ) , 

то в этой точке  функция достигает наименьшее значение  ⇒

сумма кубов наименьшая ,  если числа равны  5

Ответ : оба слагаемые равны 5