8. На сторонах CD і AD паралелограма ABCD позначено відповідно точки М i К так, що CM:MD= 1:2, AK:KD= 2:3. Виразіть вектор МК через вектори AB = ā i AD = Б ​

Спочатку знайдемо вектори CM і MD:

CM = CD - DM = AD - DM = (AB + BD) - (DM + BD) = AB - DM

MD = 2CM = 2AB - 2DM

Аналогічно знайдемо вектори AK і KD:

KD = AD - AK = AD - (AD - DK) = DK

AK = 2KD/3 = 2/3 * DK

Зауважимо, що вектор МК можна записати як суму векторів МД і ДК:

МК = MD + DK

Підставляючи вектори, які ми знайшли раніше, отримуємо:

МК = (2AB - 2DM) + (2/3 * KD)

МК = 2AB - 2DM + 2/3 * KD

Залишилося виразити вектори DM і KD через вектори AB і AD. З цією метою скористаємося тим, що DM і KD можна записати як лінійну комбінацію векторів AB і AD:

DM = 1/3 * AD - 1/3 * CM

KD = 2/5 * AD - 2/5 * AK

Підставляючи ці вирази в формулу для МК, отримуємо:

МК = 2AB - 2(1/3 * AD - 1/3 * CM) + 2/3 * (2/5 * AD - 2/5 * AK)

МК = 2AB - 2/3 * AD + 2/3 * CM + 4/15 * AD - 4/15 * AK

МК = 2AB + 2/15 * AD + 2/3 * (CM - AK)

Отже, вектор МК можна виразити через вектори AB і AD наступним чином:

МК = 2AB + 2/15 * AD + 2/3 * (CM - AK)