Допоможіть рівняння розв'язати 81 - (а+bi)⁴ = 0

Ответ:

Розкривши четверту степінь комплексного числа (a + bi)^4, ми отримаємо:

(a + bi)^4 = a^4 + 4a^3bi - 6a^2b^2 - 4ab^3i + b^4i^4

Зауважте, що i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1, тому що b^4i^4 = b^4.

Таким чином, рівняння 81 - (a+bi)^4 = 0 можна записати у вигляді:

81 - (a^4 - 6a^2b^2 + b^4) - (4a^3b + 4ab^3)i = 0

Розділивши це рівняння на 81 і переписавши його у вигляді двох рівнянь, одне для дійсної частини іншого для уявної, отримаємо:

a^4 - 6a^2b^2 + b^4 = 1

4a^3b + 4ab^3 = 0

Друге рівняння можна переписати як 4ab(a^2 - b^2) = 0, що дає або a = 0, або a^2 = b^2. Якщо a = 0, то перше рівняння стає b^4 = 1, тобто b = ±1. Якщо a^2 = b^2, то перше рівняння можна переписати як (a^2 - b^2)^2 = 1, що дає a^2 - b^2 = ±1.

Отже, всі розв'язки рівняння 81 - (a+bi)^4 = 0 мають вигляд a = 0, b = ±1 або a^2 = b^2 і a^2 - b^2 = ±1. Ці останні рівняння можуть бути розв'язані числово. Наприклад, якщо a^2 - b^2 = 1, то a^2 = (b+1)(b-1), і, оскільки a та b є цілими числами, ми можемо мати або b = 0, a = ±1, або b = ±2, a = ±3. Всі ці значення підходять для рівняння.