Обчислити інтеграл : 4 ∫ 0 1 /(√ 2 x + 1)* d x

Ответ:

Ми можемо розв'язати цей інтеграл, зробивши підстановку u = √(2x + 1), тоді dу / dx = 1 / √(2x + 1), і отримаємо:

du/dx = 1 / √(2x + 1)

dx = (1/2) * u^2 - (1/2)

Тоді наш інтеграл стає:

4 ∫ 0 1 /(√ 2 x + 1)* d x = 4 ∫ √(2x + 1) / u * [(1/2) * u^2 - (1/2)] du

= 2 ∫ (u^2 / √(2x + 1)) du - 2 ∫ (1 / √(2x + 1)) du

Першу частину можна обчислити, використовуючи стандартну формулу інтегрування:

∫ (u^2 / √(2x + 1)) du = (2/3) * u^3√(2x + 1) + C

Для другої частини, ми можемо зробити ще одну підстановку змінної, з u = √(2x + 1) до u^2 - 1 = 2x, тоді 2u * du = 2 dx, і ми отримаємо:

2 ∫ (1 / √(2x + 1)) dx = 2 ∫ (1 / u) * (u^2 - 1) / 2 du = ∫ (u^2 / u) - (1 / u) du

= (1/2) * u^2 - ln|u| + C

Підставляючи знову u = √(2x + 1), отримуємо:

4 ∫ 0 1 /(√ 2 x + 1)* d x = 2/3 * (√3 - 1) + 2ln(√2 + 1)

Отже, значення цього інтеграла дорівнює 2/3 * (√3 - 1) + 2ln(√2 + 1) або близько до 2,7646.

Объяснение: