(√3sin3x-cos3x)²=4-6tg((pi/6)-3x) cos(3x-(7pi/6)

Ответ:

Начнем с расширения левой части уравнения, используя тождество (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:

(√3sin3x - cos3x)²

= (√3sin3x)² - 2(√3sin3x)(cos3x) + (cos3x)²

= 3sin²(3x) - 2√3sin(3x)cos(3x) + cos²(3x)

= (3-2√3sin(3x)cos(3x)) + (sin²(3x)+cos²(3x)) - 3cos²(3x)

= 3-2√3sin(3x)cos(3x) - 3cos²(3x)

Теперь упростим правую часть уравнения:

4 - 6tg((π/6)-3x)cos(3x-(7π/6))

= 4 - 6(√3)cos(3x-(π/2))tan((π/6)-3x)

= 4 - 6(√3)sin(3x)cos(π/6) / (cos(3x)cos(π/2) - sin(3x)sin(π/2))

= 4 - 6(√3)sin(3x) / (-cos(3x))

= 4 + 6(√3)tan(3x)

Теперь мы можем подставить это выражение обратно в исходное уравнение и упростить:

3-2√3sin(3x)cos(3x) - 3cos²(3x) = 4 + 6(√3)tan(3x)

Прибавив 3cos²(3x) к обеим сторонам, мы получим:

3cos²(3x) - 2√3sin(3x)cos(3x) = 4 + 6(√3)tan(3x) - 3

Упрощая левую часть, используя тождество sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ), получаем:

3cos(3x)(cos(3x) - √3sin(3x)) = 4 + 6(√3)tan(3x) - 3

Упрощая правую часть, получаем:

3cos(3x)(cos(3x) - √3sin(3x)) = 6(√3)tan(3x) + 1

Разделив обе части на 3cos(3x), получим:

cos(3x) - √3sin(3x) = (2√3/3)tan(3x) + 1/3

Используя тождество tan(π/2 - θ) = 1/tan(θ), мы можем переписать правую часть как:

(2√3/3)tan(3x) + 1/3 = (2√3/3)cot(π/2 - 3x) + 1/3

Подставляя это выражение обратно в предыдущее уравнение, получаем:

cos(3x) - √3sin(3x) = (2√3/3)cot(π/2 - 3x) + 1/3

2 sin(3x + π/3) = 2 cot(π/6)