7. Розв'язати нерівність: arcsin (5-3x) < 8.Розв'язати нерівність, звівши її спочатку до однієї тригонометричної функції: 2 cos2x + 9sin x-6>0​

Ответ:

Почнемо з нерівності:

arcsin (5-3x) < 8

За визначенням arcsin можна записати:

-π/2 < arcsin (5-3x) < π/2

Перетворимо нерівність відносно sin:

sin(-π/2) < 5-3x < sin(π/2)

-1 < 5-3x < 1

Піднесемо нерівність до квадрата (для того, щоб позбавитися від'ємних значень):

1 < (5-3x)² < 1

Розв'яжемо цю нерівність:

1 < (5-3x)² < 1

0 < 5-3x < 0

5/3 > x > 5/3 -1

2/3 < x < 2/3

Відповідь: 2/3 < x < 5/3.

Розв'яжемо нерівність 2 cos²x + 9sin x - 6 > 0.

Перетворимо вираз 2 cos²x на вираз, що містить тільки sin x, за допомогою тотожності cos²x = 1 - sin²x:

2(1 - sin²x) + 9sin x - 6 > 0

Скоротимо:

2 - 2sin²x + 9sin x - 6 > 0

Перенесемо всі доданки в ліву частину:

-2sin²x + 9sin x - 4 > 0

Перепишемо вираз для sin x у вигляді:

sin x = (2t - 9) / 4

Підставимо цей вираз в нерівність:

-2((2t - 9) / 4)² + 9((2t - 9) / 4) - 4 > 0

Скоротимо:

-1/8 t² + (9/4) t - 7/2 > 0

Перемножимо все на (-8) для того, щоб позбавитися від знаменника:

t² - 18t + 28 < 0

Розв'яжемо квадратне рівняння:

t1,2 = (18 ± √(18² - 4*28)) / 2 = 9 ± 2√5

Отже, t1 = 9 + 2√5, t2 = 9 - 2√5.

Повертаємось до sin x:

sin x = (2t - 9) / 4

sin x1 = (2(9 + 2√5) - 9) / 4 = √5/2

sin x2 = (2(9 - 2√5) - 9) / 4 = 1/2

що можна підставити до формули san x =(2t-9)/4:

якщо sin x1 = √5/2, то san x1 = (2(9 + 2√5) - 9) / 4 = √5/2;

якщо sin x2 = 1/2, то san x2 = (2(9 - 2√5) - 9) / 4 = (1 - √5)/2.

Отже, розв'язок нерівності 2 cos²x + 9sin x - 6 > 0 має вигляд:

x ∈ (2kπ + arcsin((1 - √5)/2), 2kπ + arcsin(√5/2)), де k - ціле число.