Треба негайно! Доведіть, що 293³+37³+293²-37² ділиться на 330 Дам 30 балів!

Ответ:

Нам потрібно довести, що вираз (293³ + 37³ + 293² - 37²) ділиться на 330.

Звернімо увагу на те, що 330 = 2 * 3 * 5 * 11. Розділимо кожен доданок виразу на 330:

293³ / 330 ≡ 1³ / 330 (mod 2)

37³ / 330 ≡ (-1)³ / 330 (mod 2)

293² / 330 ≡ 1² / 330 (mod 3)

37² / 330 ≡ (-1)² / 330 (mod 3)

293³ / 330 ≡ 1³ / 330 (mod 5)

37³ / 330 ≡ 2³ / 330 (mod 5)

293² / 330 ≡ 3² / 330 (mod 5)

37² / 330 ≡ 2² / 330 (mod 5)

293³ / 330 ≡ 0³ / 330 (mod 11)

37³ / 330 ≡ 4³ / 330 (mod 11)

293² / 330 ≡ 9² / 330 (mod 11)

37² / 330 ≡ 4² / 330 (mod 11)

З використанням Малої теореми Ферма маємо:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

a² ≡ 1 (mod 3) => a ≡ ± 1 (mod 3)

a^5 ≡ 1 (mod 5) => a ≡ ± 1, ± 2 (mod 5)

a^10 ≡ 1 (mod 11) => a ≡ ± 1, ± 3, ± 4, ± 5, ± 9 (mod 11)

Записуючи всі отримані результати, ми бачимо, що всі доданки відповідають числам, які діляться на 2, 3, 5, та 11. Тому весь вираз (293³ + 37³ + 293² - 37²) також ділиться на 2, 3, 5, та 11, і, отже, ділиться на 330. Таким чином, ми довели, що вираз (293³ + 37³ + 293² - 37²) ділиться на 330.