решить систему уравнений 1)x+y=5пи/6 cos²x+cos²y=1/4 2)x+y=пи/3 cosx-2cosy=0​

Ответ:

Решим систему уравнений:

x + y = 5π/6 (1)

cos²x + cos²y = 1/4 (2)

Выразим y из уравнения (1):

y = 5π/6 - x

Подставим это выражение в уравнение (2):

cos²x + cos²(5π/6 - x) = 1/4

Раскроем квадрат косинуса:

cos²x + (cos²x - 2cos(x)sin(5π/6) + sin²(5π/6)) = 1/4

Упростим:

2cos²x - cos(x)√3 + 3/4 = 0

Решим квадратное уравнение относительно cos(x):

cos(x) = [√3 ± √3/2]/4

cos(x) = (√3 + √3/2)/4 или cos(x) = (√3 - √3/2)/4

cos(x) = (√3/2 + 1/2)/2 или cos(x) = (√3/2 - 1/2)/2

cos(x) = √3/4 или cos(x) = 1/4

Используя уравнение (1), найдем соответствующие значения y:

y = 5π/6 - x = 5π/6 - arccos(√3/4) или y = 5π/6 - x = 5π/6 - arccos(1/4)

y = 5π/6 - arccos(√3/4) - x или y = 5π/6 - arccos(1/4) - x

Таким образом, решение системы имеет вид:

(x, y) = (arccos(√3/4), 5π/6 - arccos(√3/4)) или (x, y) = (arccos(1/4), 5π/6 - arccos(1/4))

Решим систему уравнений:

x + y = π/3 (1)

cos(x) - 2cos(y) = 0 (2)

Выразим y из уравнения (1):

y = π/3 - x

Подставим это выражение в уравнение (2):

cos(x) - 2cos(π/3 - x) = 0

Раскроем косинус разности:

cos(x) - (cos(π/3)cos(x) + sin(π/3)sin(x)) = 0

Упростим:

cos(x) - (1/2)cos(x) - (√3/2)sin(x) = 0

Выразим sin(x) через cos(x):

sin(x) = (2√3/3)cos(x)

Подставим это выражение в уравнение (1):

x + y = π/3

x + π/3 - x = π/3

y = 0

Таким образом, решение системы имеет вид:

(x, y) = (t, 0), где t - произвольное действительное число.