Найти остаток при делении 5⁴³ на 13 помогите пожалуйста

Для нахождения остатка при делении больших чисел можно воспользоваться алгоритмом деления в столбик.

Начнем с того, что разобьем число 5⁴³ на множители, которые будем последовательно возводить в квадрат и брать по модулю 13:

5¹ = 5

5² = 25 = 1 (mod 13)

5⁴ = (5²)² = 1² = 1 (mod 13)

5⁸ = (5⁴)² = 1² = 1 (mod 13)

5¹⁶ = (5⁸)² = 1² = 1 (mod 13)

5³² = (5¹⁶)² = 1² = 1 (mod 13)

5⁶⁴ = (5³²)² = 1² = 1 (mod 13)

5¹²⁸ = (5⁶⁴)² = 1² = 1 (mod 13)

5²⁵⁶ = (5¹²⁸)² = 1² = 1 (mod 13)

Теперь можно записать 5⁴³ в виде произведения:

5⁴³ = 5¹ · 5² · 5⁴ · 5⁸ · 5¹⁶ · 5³² · 5⁶⁴ · 5¹²⁸ · 5²⁵⁶

Подставим каждый множитель в формулу:

5¹ mod 13 = 5

5² mod 13 = 1

5⁴ mod 13 = 1

5⁸ mod 13 = 1

5¹⁶ mod 13 = 1

5³² mod 13 = 1

5⁶⁴ mod 13 = 1

5¹²⁸ mod 13 = 1

5²⁵⁶ mod 13 = 1

Теперь остается перемножить все остатки:

5 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 5 (mod 13)

Ответ:

Итак, остаток при делении 5⁴³ на 13 равен 5.