Исследовать функцию на произвольность

ага

Для исследования функции Y = x³/(x²-4) необходимо определить ее область определения, точки разрыва, интервалы знакопостоянства, экстремумы и периодичность, если она существует. Область определения функции: x² - 4 ≠ 0, следовательно, x ≠ ±2. Область определения функции: D(Y) = (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, +∞). Точки разрыва функции: точки, в которых функция не определена или не является непрерывной. Функция Y имеет вертикальный асимптоты в точках x = -2 и x = 2, следовательно, в этих точках функция не определена. Интервалы знакопостоянства функции: необходимо решить неравенство Y > 0. Для этого необходимо определить знаки функции на каждом из интервалов области определения. При x < -2 функция Y < 0, так как числитель отрицательный, а знаменатель положительный. При -2 < x < 0 функция Y > 0, так как числитель и знаменатель отрицательные. При 0 < x < 2 функция Y < 0, так как числитель и знаменатель положительные. При x > 2 функция Y > 0, так как числитель положительный, а знаменатель положительный. Следовательно, функция Y > 0 на интервалах (-2, 0) и (2, +∞), а на интервалах (-∞, -2) и (0, 2) функция Y < 0. Эк стремумы функции: для нахождения экстремумов необходимо найти производную функции Y и приравнять ее к нулю: Y' = (3x²(x²-4) - 2x(x³)) / (x²-4)² = (x²(3x²-8)) / (x²-4)² Y' = 0 при x = ±√(8/3). Необходимо проверить знаки производной на интервалах между точками разрыва и экстремумами: При x < -2 функция Y' > 0, так как числитель и знаменатель отрицательные. При -2 < x < -√(8/3) функция Y' < 0, так как числитель отрицательный, а знаменатель положительный. При -√(8/3) < x < 0 функция Y' > 0, так как числитель и знаменатель положительные. При 0 < x < √(8/3) функция Y' < 0, так как числитель и знаменатель положительные. При √(8/3) < x < 2 функция Y' > 0, так как числитель положительный, а знаменатель положительный. При x > 2 функция Y' < 0, так как числитель и знаменатель положительные. Следовательно, функция Y имеет локальный максимум в точке x = -√(8/3) и локальный минимум в точке x = √(8/3). Периодичность функции: функция Y не является периодической. Таким образом, исследование функции Y = x³/(x²-4) показывает, что ее область определения D(Y) = (- ∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, +∞), функция имеет вертикальные асимптоты в точках x = -2 и x = 2, интервалы знакопостоянства функции Y > 0 на интервалах (-2, 0) и (2, +∞), а на интервалах (-∞, -2) и (0, 2) функция Y < 0. Функция имеет локальный максимум в точке x = -√(8/3) и локальный минимум в точке x = √(8/3). Функция Y не является периодической. Производная функции Y равна Y' = (x²(3x²-8)) / (x²-4)², а ее корни x = ±√(8/3) определяют точки экстремума.