Найти целую часть суммы, значение каждого аргумента дробь с иррациональностью в знаменателе

Если мы говорим про обычную сумму обратных корней и нам дано примерно такое задание

$\left \lfloor \sum_{i=1}^{1000000}\frac{1}{\sqrt i } \right \rfloor $

То такие задания делаются в пару строк и обычной оценкой

Пусть $f(x)=\sqrt{x}$, будем использовать теорему Лагранжа

$f:\left[ k,k+1 \right]\to \mathbb{R},f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{n+1}} < \sqrt{k+1}-\sqrt{k} < \frac{1}{2\sqrt{n}}$

$2\left( \sqrt{n+1}-1 \right) < \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}} < 2\left( \sqrt{n+1}-1 \right)+1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

Так как $n=10^6$, то целая часть равна $1999$

Немного ясности

$$2(\sqrt{n+1}-1) < \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}$$

Но если мы говорим про такое задание

$\left \lfloor \sum_{n=1}^{k}\frac{1}{\sqrt{n}} \right \rfloor$

То уже возникает проблема... Да, если вместо корня будет степень m\geq 2, то целая часть всегда будет равняться единице. Но тут нам дано обобщение гармонического ряда и мы пытаемся найти целую часть его

$\left \lfloor \sum_{n=1}^{k}\frac{1}{\sqrt{n}} \right \rfloor=\left \lfloor H_k^{\left ( 1/2 \right )} \right \rfloor$

Но тогда мы тут ничего не посчитаем... Если мы попробуем взять не первые k, а бесконечный ряд рассмотреть, то данный ряд расходится. Но если рассмотреть такой бесконечный ряд

$\lim_{s\to 0}\sum_{n=1}^{\infty }n^{-s-1/2}=\zeta \left ( \frac{1}{2} \right )$

То целая часть такого числа уже можно посчитать и будет -2

Других вариантов нет у меня