дослідіть функцію f(x)=x²-4x²+9 на проміжки спадання та зростання; на найбільше та найменше значення функції​

Відповідь:

Це квадратична функція, і її можна переписати як f(x) = -3x² + 9.

Проміжки зростання та спадання

Для визначення проміжків зростання та спадання функції, необхідно знайти похідну функції. Похідна цієї функції є f’(x) = -6x.

Функція зростає, коли f’(x) > 0, і спадає, коли f’(x) < 0. Оскільки f’(x) = 0 при x = 0, то:

Функція зростає на проміжку (-∞, 0), оскільки f’(x) > 0 для x < 0.

Функція спадає на проміжку (0, ∞), оскільки f’(x) < 0 для x > 0.

Максимальне та мінімальне значення функції

Максимальне та мінімальне значення квадратичної функції можна знайти за допомогою вершини параболи. Вершина параболи для функції у форматі f(x) = ax² + bx + c визначається як x = -b/2a.

Оскільки a = -3 і b = 0 для нашої функції, вершина параболи знаходиться в точці x = -b/2a = -0/-6 = 0. Значення функції в цьому місці є f(0) = -3*0² + 9 = 9.

Оскільки коефіцієнт при x² є від’ємним (a = -3), парабола відкрита вниз. Тому:

Максимальне значення функції становить 9 і досягається при x = 0.

Функція не має мінімального значення, оскільки вона продовжує спадати до нескінченності при x → ±∞.