Докажите, что при любом натуральном n ∈ ℕ выполняется: (1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n+2) ) > 13/24

Відповідь:Для доведення нерівності, спростимо ліву частину:

(1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n+2))

Знайдемо спільний знаменник для усіх дробів, це буде (n + 1) * (n + 2):

= (1 * (n+2) + 1 * (n+1) + ... + 1 * 1) / ((n+1) * (n+2))

Тепер обчислимо чисельник:

= ((n+2) + (n+1) + ... + 1) / ((n+1) * (n+2))

Це є сумою арифметичної прогресії від 1 до (n + 2) з різницею 1:

= ((n + 2) * (n + 3)) / 2 / ((n+1) * (n+2))

Зараз спростимо вираз, поділивши чисельник і знаменник на (n + 2):

= ((n + 3) / 2) / (n + 1)

Залишаємо лише цей вираз:

= (n + 3) / (2 * (n + 1))

Тепер можемо перевірити нерівність:

(n + 3) / (2 * (n + 1)) > 13/24

Перемножимо обидві сторони на 2 * (n + 1), щоб позбутися від знаменника:

(n + 3) > (13/24) * (2 * (n + 1))

Розкриємо дужки:

n + 3 > (13/12) * (n + 1)

Розкриємо дужки в правій частині нерівності:

n + 3 > (13/12) * n + (13/12)

Віднімемо (13/12) * n з обох сторін:

3 > (13/12) + (13/12) * n - (13/12) * n

Залишаємо лише числа:

3 > 13/12

Ця нерівність завжди вірна, оскільки 3 більше, ніж 13/12.

Отже, ми довели, що для будь-якого натурального n ∈ ℕ нерівність:

(1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n+2)) > 13/24

Пояснення: