Знайти розв язки нерівності x^2+|5x-4|-1 ≤ |3x-2|

Відповідь:

Для розв'язання даної нерівності, розглянемо її випадки, коли вирази під модулями від'ємні та додатні окремо.

Розглянемо вирази під модулями, які можуть бути від'ємними:

x^2 - (5x - 4) - 1 ≤ -(3x - 2)

Розкриємо дужки та спростимо нерівність:

x^2 - 5x + 4 - 1 ≤ -3x + 2

x^2 - 5x + 3 ≤ -3x + 2

Піднімемо всі члени на 3x - 2 (з урахуванням зміни знака):

x^2 - 5x + 3 + 3x - 2 ≤ 0

x^2 - 2x + 1 ≤ 0

Тепер ми маємо квадратичну нерівність, яку можна розв'язати. Знайдемо її корені:

(x - 1)^2 ≤ 0

Ця нерівність має один дійсний корінь x = 1.

Розглянемо вирази під модулями, які можуть бути додатними:

x^2 + (5x - 4) - 1 ≤ 3x - 2

Розкриємо дужки та спростимо нерівність:

x^2 + 5x - 4 - 1 ≤ 3x - 2

x^2 + 5x - 5 ≤ 3x - 2

Піднімемо всі члени на 3x - 2 (з урахуванням зміни знака):

x^2 + 5x - 5 - (3x - 2) ≤ 0

x^2 + 5x - 5 - 3x + 2 ≤ 0

x^2 + 2x - 3 ≤ 0

Тепер ми маємо іншу квадратичну нерівність, яку також можна розв'язати. Знайдемо її корені:

(x + 3)(x - 1) ≤ 0

Ця нерівність має корені x ≤ -3 і x ≥ 1.

Тепер знайдемо об'єднання розв'язків обох випадків:

-3 ≤ x ≤ 1

Отже, розв'язком даної нерівності є інтервал -3 ≤ x ≤ 1.

Пояснення: