докажите, что если a² + b² = 1, x² + y² = 1, то |ax+by|<=1

Ответ:

Для доведення цього факту скористаємось нерівністю Коші-Буняковського:

|(ax+by)|² <= (a²+b²)(x²+y²)

Підставимо в задання:

|(ax+by)|² <= (a²+b²)(x²+y²) = 1*1 = 1

Оскільки права частина нерівності дорівнює 1, то можна записати:

|(ax+by)| <= sqrt(1) = 1

Отже, ми довели, що |ax+by|<=1, якщо a² + b² = 1, x² + y² = 1.