Докажите, что уравнение n^2+n=10k+1 при натуральных n и k не имеет корней

Ответ:

-

Объяснение:

Рассмотрим остатки от деления на 2.

n^2+n\equiv n(n+1)\equiv 1*0\equiv 0\mod 2

10k+1=2(5k)+1\equiv1\mod2

Следовательно, у обоих частей уравнения n^2+n=10k+1 всегда будут разные остатки от деления на 2, то есть это уравнение не имеет корней в натуральных числах.

Ответ:

Для начала давайте допустим, что уравнение n^2 + n = 10k + 1 имеет корень для натуральных n и k. Тогда выразим n^2 + n в виде полного квадрата:

n^2 + n = n*(n + 1)

Зная, что уравнение n^2 + n = 10k + 1 имеет корень, мы можем записать:

n(n + 1) = 10k + 1

Так как n(n + 1) представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел, то одно из них должно быть четным, а другое нечетным.

Теперь рассмотрим 2 возможных случая:

1. Если n четное, то n + 1 - нечетное. Значит, n(n + 1) - нечетное. Но 10k + 1 - нечетное, так как 10k - четное для любого целого k. Следовательно, уравнение n^2 + n = 10k + 1 не имеет корней.

2. Если n нечетное, то n + 1 - четное. Значит, n(n + 1) - четное, но 10k + 1 - нечетное. Следовательно, уравнение n^2 + n = 10k + 1 не имеет корней.

В результате понятно, независимо от того, является ли n четным или нечетным, уравнение n^2 + n = 10k + 1 при натуральных n и k не имеет корней.