Найдите промежуток монотонности функции f x =√x^2-3x

Ответ:

Для определения промежутка монотонности функции f(x) = √x^2 - 3x, мы должны найти производную этой функции и проанализировать ее знаки.

Сначала найдем производную функции f(x). Воспользуемся правилом дифференцирования для функций с корнем:

f'(x) = (1/2)(x^2-3x)^(-1/2) (2x - 3)

= (x - 3)/(√x^2 - 3x)

Теперь проанализируем знаки производной f'(x).

1) Для определения промежутка монотонности функции нам нужно найти значения x, где производная равна нулю или не существует. Мы можем установить, что производная не существует при x = 0, так как в этом случае знаменатель становится равным нулю.

2) Теперь проанализируем знаки производной f'(x) на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞). Для этого мы можем выбрать произвольные значения из этих интервалов и подставить их в производную.

- Для интервала (-∞, 0) выберем x = -1:

f'(-1) = (-1 - 3)/(√1 + 3)

= -4/2

= -2

- Для интервала (0, +∞) выберем x = 1:

f'(1) = (1 - 3)/(√1 - 3)

= -2/-2

= 1

Итак, мы получаем:

- На интервале (-∞, 0) производная f'(x) отрицательная (f'(-1) = -2). Это означает, что функция f(x) убывает на этом интервале.

- На интервале (0, +∞) производная f'(x) положительная (f'(1) = 1). Это означает, что функция f(x) возрастает на этом интервале.

Таким образом, промежутками монотонности функции f(x) = √x^2 - 3x являются (-∞, 0) и (0, +∞). На этих промежутках функция f(x) убывает и возрастает соответственно.