Доказать,что 1в кубе +2 в кубе+3 в кубе+...+9 в кубе не делится на 10

1^3+9^3=(1+9)(1-9+81) делится на 10

2^3+8^3=(2+8)(4-16+64) делится на 10

3^3+7^3=(3+7)(9-21+49) делится на 10

4^3+6^3=(4+6)(16-24+36) делится на 10

значит,   1^3+9^3+ 2^3+8^3+3^3+7^3+ 4^3+6^3 делится на 10. 

Добавим недостающее 5 ^3.Оно на 10 не делится (это 125). Значит, вся сумма на 10 делиться не будет.