Докажите, что в десятичной записи числа 2 ^697 какая-то циф­ра встретится не менее 22 раз.

Для начало нужно узнать сколько цифр будет в данном числе , можно использовать метод оценки чисел , то есть ясно что к примеру  в ней с единице 6 цифр , используем его  а в числе  цифр то есть в нашем чисел более  цифр . Но так как наше число образованна произведением чисел   в ней вероятность попадания четных чисел большая .    Предположим что есть какая то цифра  и ее периодичность в среднем  встречается в 4 раза то мы знаем что цифр в числе больше 206 , я проверил точно их 216 , это не важно , тогда 216/4=54 цифр . Снизим нашу вероятность 216/10=21,6то есть уже 21. Но учитывая то что числа в четной степени важно заметить что числа к примеру 1,5,0,7  будут реже всех встречаться это видно из соображения разложение в степени двоек ,  так как если в числе число 0 превосходило всех то в них было произведение множителей вида  .Далее оценим вероятность попадания 8 ,  то она может встречаться с вероятностью больше чем  4 других числа. То есть из этого можно сделать вывод что уже 4 числа будет встречаться реже всех. А остальные 6 с большой вероятностью . А ранее мы оценили периодичность , объединяя ее получаем что в среднем хотя бы через каждые каких то определенных чисел будут встречаться Цифра с периодичностью <x