При движении тела по прямой расстояние S(t) (в метрах) до тела от фиксированной точки Р изменяется по закону S(t)=8t^2+7t+sint+1 (t - время движения тела в секундах). Какой была скорость в момент начала движения? Можно с подробным решением, пожалуйста, чтобы лучше было понимать:)

Скорость это ПЕРВАЯ производная уравнения движения(пути) по времени, дифференцируя, получим

v(t)= S' = 8*2*t + 7 + Cos(t)= 16*t + Cos(t) + 7.

НАЧАЛОМ движения обычно считают t=0, однако в некоторых задачах это не так и нужно внимательно читать условие, чтобы понять, что такое начало в конкректном контексте. В данной задаче ничего об этом не сказано, поэтому, очевидно, предполагается, что начало движения, это t=0.

Подставляя в полученную формулу, Получим

v(0) = 16*0 + Cos(0) +7 = 0 + 1 + 7 = 8 м/c.

Вроде всё, но учитесь видеть за уравнением реальное движение, это же интересно, не тупо брать производные и подставлять туда значения это и медведя в цирке можно научить, ничего сложного, а вот представлять процессы, описываемые этими уравнениями, гораздо сложней и интересней. В нашем слечае процесс представляет собой сумму ТРЁХ движений - равноускоренного(8t^2 +7t),  и колебательного. Поэтому приблизительно это шарик с пружинками с двух сторон, который колеблется и, например, падает на землю. Пружинки перпендикулярны земле. Вот, оказывется, движение какого сложного объекта описывает это простое уравнение, а вы умеете определить ВСЁ о движении этого шарика.     

Немного подумал и решил продолжить размышление о термине "начало движения". В принципе, ничто не запрещает нам толковать о начале движения, как о моменте времени. когда движения еще не было, то есть в момент, когда S=0. И это толкование очень часто встречается как в физике, так и в математематике, вспомним всяких велосипедистов, выезжающих то на час позже, то на 2 часа раньше, то есть у них начало не совпадает с t=0. Применив это толкование, попробуем теперь решить нашу задачу. Для определения времени начала движения необходимо решить уравнение

8*t^2 + 7*t + sint + 1 =0

И вот здесь нас ждет засада - уравнение трансцендентное и решить его можно или численными методами или(очень приближённо) графически. Дело осложняется осциллирующим слагаемым (колеблющимся) Sint, что чревато не одним, а многими решениями(вы решали тригонометрические уравнения, представляете что это такое), а так как в условии НИЧЕГО не конкретизировано, необходимо найти ВСЕ решения, потому что КАЖДОЕ из них можно трактовать, как начало движения....

Вот так неряшливость или безумие авторов задачи может завести вдумчивого ученика в тупик. Не расстраивайтесь, это часто бывает, но ДУМАТЬ не переставайте. Однако, для чистоты решения, чтобы к вам не было никаких претензий, или идите до конца, рассматривая ВСЕ варианты, то есть решая поставленную задачу со всеми вариантами, либо, как сделал я, напишите(для этой задачи) "Предположим, что движение начинается в момент времени t=0" и всё! Претензий не будет!