Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Решить дифференциальные уравнения с разделяющими переменными и задачу Коши

    [tex](xy^{2} - y^{2}) dx - (x^{2}y + x^{2})dy=0 [/tex]

Ответы 1

  • Разделим все на dx получим -\frac{dy}{dx}(x^2y+x^2)=-(xy^2-y^2)

    Сделаем так чтобы в левой части осталось только dy/dx

    Получим

    \frac{dy}{dx}=\frac{xy^2-y^2}{x^2y+x^2}=\frac{y^2}{y+1}\frac{x-1}{x^2} 

    Теперь умножим все на \frac{y+1}{y^2} получаем:

    \frac{y+1}{y^2}dy=\frac{x-1}{x^2}dx

    Возьмем интеграл от левой и правой части

     \int{\frac{y+1}{y^2}}dy=\int{\frac{x-1}{x^2}}dx

    Находим значения интегралов получаем:

    ln(y)-\frac{1}{y}+C=ln(x)+\frac{1}{x}+C^1 Можно объеденить С и С1 в одну константу, назовем ее С.

    Этого я думаю достаточно. Чтобы решить задачу Коши нужны начальные условия, к сожалению здесь они не предоставлены. Поэтому попытаемся решить задачу Коши для произвольных начальных условий

     

    y(a)=b , где a,b-константы

    найдем сразу ln(y(a))=ln(b) и подставим все в уравнение

    получимln(b)-\frac{1}{b}=ln(a)+\frac{1}{a}+C 

    Отсюда

    C=ln(b)-\frac{1}{b}-ln(a)-\frac{1}{a}

    Т.е решеним задачи Коши для произвольных a и b, которые конечно должны принадлежать области определения функций указанных в общем решении уравнения (очевидно, что а и b не равны 0, т.к деление на ноль недопустимо и в общем то говоря а и b>0, если мы конечно не рассматриваем случая когда логарифмическая функция продолжается на комплексное пространство) будет:ln(y)-\frac{1}{y}=ln(x)+\frac{1}{x}+(ln(b)-\frac{1}{b}-ln(a)-\frac{1}{a})

     

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years