[tex]log_\frac{1}{2}(x^2-4)\leq-3[/tex]

ОДЗ. x^2 - 4 >0,  метод интервалов x=-2; 2 ,т.е. ОДЗ (-беск; -2) и (2; +беск)

Так как основание 1/2 < 1, то x^2 - 4 >= (1/2)^(-3);  x^2 - 4 >= 8, x^2 -12 >= 0,

метод интервалов x = + - 2sqrt3, т.е. (-беск; -2sqrt3] и [ 2sqrt3; +беск)

Совместим решение с ОДЗ:   получим (-беск; -2sqrt3] и [2sqrt3; +беск) 

log₀₅ (x² - 4) ≤ -3

ОДЗ: x² - 4 > 0

х∈(-∞; -2)∧(2; +∞)

log₀₅ (x² - 4) ≤ log₀₅ 8

Поскольку основание 0,5<1, то для чисел соотношение будет обратным, чем у логарифмов, т.е.

x² - 4 ≥  8

x² - 12 ≥ 0

корни уравнения x² - 12 = 0

х₁ = -2√3

х₂ = 2√3

Поскольку график функции у = x² - 12 квадратная парабола веточками вверх, то

x² - 12 ≥ 0 при х ∈(-∞; -2√3]∧[2√3; +∞)

Сопоставим решение с ОДЗ.

поскольку 2√3 > 2, а -2√3 <2, то полученное решение принадлежит ОДЗ.

Ответ: х ∈(-∞; -2√3]∧[2√3; +∞)