Помогите, пожалуйста, решить:

Исследовать ряды на сходимость. Для степенного ряда найти область сходимости:

   ∞

1)∑  = 1/ n*5^n

   n-1

2)∞

   ∑  =((-1)^n)*n / 2^n* (n+1)

   n-1

   ∞

3)∑  = ((n²-5)/5^n)*(x-5)^n

   n-3

 

Необходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, является стремление общего члена к нулю.

1)

Как видим общий член при n -> ∞ стремится к нулю. Ряд у нас положительный, применим признак Даламбера ()

т.е. ряд сходится абсолютно

2) Ряд является знакочередующимся, применим признак Лейбница (Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится.)

- ряд сходится. Исследуем также на абсолютную и условную сходимости (Сходящийся ∑a(n) называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей ∑|a(n)|, иначе — сходящимся условно.)

воспользуемся признаком сравнения

ряд справа сходится, т.е. наш ряд сходится абсолютно.

3)

Воспользуемся признаком Даламбера

Наш ряд будет сходится, если ⅕|x-5|<1 ⇔ |x-5|<5 ⇔ -5<x-5<5 ⇔ 0<x<10

Остается исследовать сходимость на концах интервала:

a) x=0

ряд расходится

б) x=10

ряд расходится

Т.е. область сходимости ряда (0, 10)