Знайти значення а , при яких рівняння має дійсний роз вязок. Вказати знаки коренів:

x^2-2(a-1)x+2a+1=0 

x^2-2(a-1)+2a+1=0

D=b^2-4ac

D=4(a-1)^2-4(2a+1)=4(a^2-2a+1)-8a-4=4a^2-8a+4-8a-4=4a^2-16a

1) D<0,  4a^2-16a<0

              a^2-4a<0

              0<a<4, то уравнение не имеет действительных корней

2) D=0,  4a^2-16a=0

              a^2-4a=0

              a=0 или a=4, то уравнение имеет единственный корень, найдем их:

          если а=0, то х=2(а-1)/2=0-1=-1

          если а=4, то х=2(а-1)/2=4-1=3

 3) D>0,  4a^2-16a>0

               a^2-4a>0

                a<0

                a>4, то уравнение имеет два корня

x1=a-1-\sqrt{a^2-4a}<0

x2=a-1+\sqrt{a^2-4a}>0

Ответ: если 0<a<4 то уравнение не имеет действительных корней;

           если а=0, то х=-1<0           если а=4, то х=3>0

           если а<0 или a>4, то уравнение имеет два корня  

                                                                x1=a-1-\sqrt{a^2-4a}<0

                                                                x2=a-1+\sqrt{a^2-4a}>0

x^2-2(a-1)x+2a+1=0

х = [2(а-1)±√(4(a-1)²-4(2a+1))]/2 = (a-1)±√(a²-2a+1-2a-1)=a-1±√[a(a-4)]

a(a-4)>=0

a>=4

a<=0

при a>=4  x>0

при а<=0  x<0