упростите выражение: [tex]\sqrt({x-2})^{2}+\sqrt({x+2})^{2}[/tex], если [tex] x\leq-3[/tex]

x<=-3

√(x-2)²=|x-2|= 2-x

√(x+2)²=|x+2|= -(x+2)

√(x-2)²+√(x+2)²=|x-2|+|x+2|= (2-x)-(x+2) = 2-x-x-2 = -2x

√(х - 2)² + √(х + 2)² при х≤ -3

Корень квадратный из квадрата числа может быть положительным или отрицательным, например, если  х² = 4, то √х² = ±2. Поэтому следует рассмотреть 4 случая:

1) (х - 2) ≥ 0      ⇒ х ≥ 2

    (х - 2) ≥ 0      ⇒ х≥ -2

пересечение этих интервалов даёт х≥ -2,

но в условии дано, что х≤ -3, поэтому данный случай рассматривать не надо.

2) (х - 2) ≥ 0      ⇒ х ≥ 2

    (х - 2) ≤ 0      ⇒ х≤ -2

Эти интервалы не пересекаются, поэтому данный случай не рассматриваем

3) (х - 2) ≤ 0      ⇒ х ≤ 2

    (х - 2) ≥ 0      ⇒ х ≥ -2

Эти интервалы не пересекаются, поэтому данный случай не рассматриваем

4) (х - 2) ≤ 0      ⇒ х ≤ 2

    (х - 2) ≤ 0      ⇒ х≤ -2

пересечение этих интервалов даёт х≤ -2

Интервал  х≤ -2 единственный из всех 4-х рассмотренных случаев, который соответсвует условию   х≤ -3.

Итак, решаем, имея

√(х - 2)² = -х + 2

и

(х + 2)² = -х - 2

-х + 2 + ( -х - 2) = -х + 2 - х - 2 = -2х