Укажите количество точек с целочисленными координатами, которые принадлежат области определения функции 

Подкоренные выражения не должны быть меньше нуля.

-x²-5x+24>0

x²+5x-24<0

x²+5x-24 = 0

по теореме Виета

x1=-8

x2= 3

(x+8)(x-3)< 0

x<-8, x>3

x>-8, x<3

x ∈ [-8; 3]

x²+2x-35>0

x²+2x-35=0

По теореме Виета

x1= 5

x2=-7

(x-5)(x+7)>0

x>5, x>-7

x<5, x<-7

x ∈ (-∞;-7]U[5; +∞)

Целочисленные абциссы  -8 и -7

Проверим ординаты

у(-8)=√(-x²-5x+24)+ √(x²+2x-35)= √-64+40+24 +√64-16+280=√328

y(-7)= √(-x²-5x+24)+ √(x²+2x-35)= √-49+35+24 + 0 = √10

Целочисленных ординат нет (( 

Так как сумма 2 иррациональных числа не может быть рациональным если они имеют одинаковые знаки и подкоренные выражения не равны нулю. Так как в данном случае у нас обе корни должны быть положительными то их сумма никогда не будет рациональной, если об подкоренные выражения не будут квадратами чисел.

Теперь найдем область определения каждого выражения:

-x^2-5x+24>0

x^2+5x-24<0

Введем функцию и решим

x1=-8

x2= 3

x принадлежит [-8; 3]

теперь воторое

x^2+2x-35>0

Введем функцию и решим

x1= 5

x2=-7

x принадлежит (-∞;-7]U[5; +∞)

Найдем пересечение [-8; 3] и (-∞;-7]U[5; +∞)

[-7;-8] . Целочисленные x получим -7 -8.

Теперь нужно проверить чтобы при этих значениях y тоже была целочисленной:

Оба они не подходят, значит нет таких точек чтобы и абсцисса и оордината были целочисленными.