Every day my brother and I get up at eight o'clock and walk to school. I like school. Почему после like нет артикля, ведь школа второй раз упоминается в тексте.

Если ставился бы артикль , то была бы указана определенная школа, то есть брата , сестры и тд. Тут и так понятно в какую школу и так они идут. Как то так)

To go to school,  и др. - устойчивые выражения и употребляются в данном контексте (идти учиться) без артикля. Артикль со словом 'школа' употребляется тогда, когда мы имеем в виду само здание школы: (There is a sport ground behind the school - За школой есть спортплощадка), а не прoцесс учёбы - не сами уроки. Артикль не нужен в том случае, когда такие слова как school, college, university, jail, prison, hospital, church используются по назначению.