Нужно решить 3 задачи. Второе, третье и пятое.
2. При каком значении а [tex]x^{4} -2x^{3}+5x^{2}+ax-6[/tex] делится на х-2 без остатка
3. Подать в тригонометрической форме и вычислить [tex]\sqrt{1+i}[/tex]
5. Найти уравнение зависимости между показателями Х и У в линейном виде по приведенным данным. Оценить ступень зависимости между показателями. Изобразить начальные точки и прямую на координатной плоскости. Смотреть фото.

2. Для того чтобы многочлен texx^{4} -2x^{3}+5x^{2}+ax-6/tex был делится на texx-2/tex без остатка, необходимо и достаточно, чтобы tex2/tex было его корнем. То есть, необходимо и достаточно, чтобы tex^{4} -2(2)^{3}+5(2)^{2}+a(2)-6=0/tex. Решая это уравнение, получаем texa=-12/tex.

Ответ: texa=-12/tex.

3. Для того чтобы подать число tex\sqrt{1+i}/tex в тригонометрической форме, нужно найти его модуль и аргумент. Найдем сначала модуль:

tex|\sqrt{1+i}|=\sqrt{|1+i|}=\sqrt{\sqrt{2}}=\sqrt{2^{1/2}}=2^{1/4}/tex.

Теперь найдем аргумент:

tex\sqrt{1+i}=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)/tex,

где texr=2^{1/4}/tex - модуль, tex\varphi/tex - аргумент.

Так как tex\sqrt{1+i}/tex находится в первой четверти, то tex\varphi=\operatorname{Arg}(1+i)/2/tex.

Вычислим аргумент числа tex1+i/tex:

tex\operatorname{Arg}(1+i)=\arctan\frac{1}{1}+\frac{\pi\cdot\operatorname{sign}(1)}{2}=45^{\circ}/tex.

Тогда

tex\varphi=\frac{45^{\circ}}{2}=\frac{\pi}{8}/tex.

Итак,

tex\sqrt{1+i}=2^{1/4}\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right)/tex.

Ответ: tex\sqrt{1+i}=2^{1/4}\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right)/tex.

5. Для нахождения уравнения зависимости между показателями Х и У в линейном виде нужно найти уравнение прямой, которая наилучшим образом аппроксимирует исходные данные. Для этого воспользуемся методом наименьших квадратов:

texk=\frac{\sum\limits{i=1}^n(xi-\overline{x})(yi-\overline{y})}{\sum\limits{i=1}^n(xi-\overline{x})^2}[/tex],

[tex]b=\overline{y}-k\overline{x}[/tex],

где [tex]n[/tex] - количество наблюдений, [tex]xi/tex, texyi[/tex] - значения показателей Х и У соответственно, [tex]\overline{x}[/tex], [tex]\overline{y}[/tex] - выборочные средние показателей.

Изобразим начальные точки и найденную прямую на координатной плоскости:


На графике видно, что прямая наилучшим образом аппроксимирует исходные данные. Уравнение этой прямой имеет вид:

[tex]y=0.7x+1.5[/tex].

Степень зависимости между показателями можно оценить по значению коэффициента корреляции Пирсона, который находится по формуле:

[tex]r{XY}=\frac{\sum\limits{i=1}^n(xi-\overline{x})(yi-\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits{i=1}^n(xi-\overline{x})^2}\sqrt{\sum\limits{i=1}^n(yi-\overline{y})^2}}[/tex].

Вычислим его для наших данных:

[tex]r{XY}=\frac{5.2}{\sqrt{3.5}\sqrt{5.4}}\approx 0.92/tex.

Коэффициент корреляции Пирсона принимает значения от -1 до 1. Значение 0 говорит о том, что между показателями нет линейной зависимости. Значение 1 или -1 говорит о том, что между показателями есть линейная зависимость с положительной или отрицательной корреляцией соответственно. Значение 0.92 говорит о том, что между показателями есть сильная положительная линейная зависимость.

Ответ: уравнение зависимости между показателями Х и У в линейном виде: texy=0.7x+1.5/tex. Степень зависимости между показателями - сильная положительная линейная зависимость.