Никто не бежал мне навстречу . Какая грамматическая основа ?

Грамматическая основа (главные члены предложения): подлежащее - никто, выражено отрицательным местоимением, сказуемое - не бежал, выражено глаголом в прошедшем времени. Мне (кому?, дательный падеж) является дополнением, данное местоимение никогда не будет подлежащим.