Морфемный разбор слова не забудет

Не забудет – глагол: окончание -ет (забудешь, забудут, забудем); основа и корень в данном слове совпадают забуд- (однокоренные слова – незабываемый, забывчивость, забывчивый). 

Глагол употреблён с отрицательной частицей не, которая пишется раздельно, так как слово может употребляться без не.