Какая часть речи ЗНАКОМЫ? Мы начали беседовать,как будто век были ЗНАКОМЫ.

Разберем предложение по членам, определим часть речи каждого члена:

(Кто?) мы - подлежащее (местоимение).

Мы (Что сделали?) начали беседовать - составное глагольное сказуемое (глаголы).

Подлежащего во второй части предложения нет.

(Были каковы?) были знакомы - составное именное сказуемое (глагол + краткое имя прилагательное).

Были знакомы (Сколько?) век - обстоятельство (имя существительное).

В данном предложении слово \"знакомы\" входит в состав сказуемого и является кратким именем прилагательным.