Доказать неравенство (a^3-b^3)(a-b)>=3ab(a-b)^2

( a ^ 3 - b ^ 3 ) ( a - b ) > = 3 a b ( a - b ) ^ 2;

Чтобы доказать это неравенство надо из левой части неравенства вычесть правую часть.

И так: ( a ^ 3 - b ^ 3 ) ( a - b ) - 3 a b ( a - b ) ^ 2 ,

раскрываем скобки умножая многочлены и получаем a ^ 4 - a ^ 3 b - b ^ 3  a + b ^ 4 - 3 a ^3 b + 6 a ^2 b ^ 2 - 3 a b ^ 3 = a ^ 4 - 4 a ^ 3 b + 6 a ^ 2 b ^ 2 - 4 b ^ 3 a + b ^ 4 = ( a - b ) ^ 4.

Так как ( a - b ) ^ 4 >=0 при любых значениях a и b то исходное неравенство верно , что и требовалось доказать!