∫ x ln² xdx Найти неопределённый интеграл. Результат проверить дифференцированием.

∫x*ln²x dx

Произведём интегрирование по частям по формуле:

∫u dv=u*v - ∫v du.

Сначала занесём x под знак дифференциала:

∫x ln²x dx = 0,5∫ ln²x dx²  (1)

Теперь проинтегрируем по частям согласно приведённой вверху формуле, обозначив мысленно x² за v, а ln²x за u:

0,5 x² ln²x - ∫ x² lnx x^-1 dx = 0,5 x² ln²x - ∫ x lnx dx  (2)

Аналогично интегрируем по частям и второе слагаемое, представленное интегралом:

∫ x lnx dx = 0,5∫ lnx dx² = 0,5 x² lnx - 0,5∫ x² x^-1 dx = 0,5 x² lnx - 0,5∫ x dx  (3)

Здесь ∫ x dx = 0,5 x². Следовательно:

∫ x lnx dx = 0,5 x² lnx - 0,25 x²   (4)

Найденный интеграл (4) подставим в выражение (2):

0,5 x² ln²x - ∫ x lnx dx = 0,5 x² ln²x - 0,5 x² lnx + 0,25 x² = 0,5 x² (ln²x – lnx + 0,5)

Таким образом, интеграл равен (с учётом константы интегрирования):

∫x ln²x dx = 0,5 x² (ln²x – lnx + 0,5) + С

Проверка дифференцированием:

d/dx (0,5 x² (ln²x – lnx + 0,5) + С)

Дифференцируем выражение по формуле производное произведения:

d/dx (f(x)*g(x)) = d/dx(f(x))*g(x) + f(x)*d/dx(g(x));

d/dx (0,5 x² (ln²x – lnx + 0,5) + С) = x*( ln²x – lnx + 0,5) + 0,5 x² (2 lnx x^-1 – x^-1).

Раскрываем скобки:

x ln²x – x lnx + 0,5x + x lnx - 0,5x = x ln²x (верно).