1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x², y=2x2. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси

Решение:

1) По существующему алгоритму решения задачи по вычислению площади фигуры, ограниченной линиями не заданных пределами интегрирования, находим точки пересечения графиков функций друг с другом, определяя пределы интегрирования.

 Решим уравнение x² = 2x:

x² - 2x = 0:

x(x - 2) = 0 ; x₁ = 0 и x₂ = 2

применяем формулу Ньютона-Лейбница:

s = (от 0 до 2) ∫ (2x - x²) dx =(от 0 до 2)(x² - x³ / 3) = 4 – 8 / 3 = 4 / 3 (кв. ед.).

Ответ: 4 / 3 (кв. ед.).

 2) Помимо нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла важнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения. 

Объем тела вращения можно вычислить по формуле: V = (от a до b)π∫f²(x)dx.

 Для начала найдем границы интегрирования. Для этого решим уравнение:

√x = x ; ⇒ √x (1 - √x) = 0 ; ⇒  x = 0 U x = 1.

Вычисляем площадь фигуры.

s = (от 0 до 1)∫(√x - x)dx = (от 0 до 1) (2/3x√x - x²/2) = 2/3 - 1/2 = 4/6 - 3/6=1/6 (кв. ед.).

 Вычисляем объем.

V = (от 0 до 1)π∫xdx – (от 0 до 1)∫ x²dx = (от 0 до 1)π( ½ * x²  - 1/3 x³) = π(1/2-1/3) = 1/6π куб.ед.

 Ответ:V = 1/6π (куб.ед.)