Найти интервалы возрастания и убывания функции: y=2x^3-3x^2-36x+40

1. Как известно, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции y = f(x) необходимо:

– найти область определения функции;

– найти производную y\' = f\'(x) функции;

– решить неравенства f\'(x) < 0 и f\'(x) > 0 на области определения;

– к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

1. Ясно, что областью определения D(y) функции y = 2 * x³ – 3 * x² – 36 * x + 40 является D(y) = (–∞; +∞).
2. Найдём производную y\' = (2 * x³ – 3 * x² – 36 * x + 40)\' = 6 * x² – 6 * x – 36. Прежде чем перейти к следующему пункту, найдём корни квадратного уравнения 6 * x² – 6 * x – 36 = 0. Имеем два корня: х₁ = 3 и х₂ = –2. Следовательно, y\' = 6 * (х – 3) * (х + 2).
3. Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства (х – 3) * (х + 2) > 0 (для всех х, удовлетворяющих этому неравенству данная функция возрастает) и (х – 3) * (х + 2) < 0 (функция убывает).
4. Схематическое решение этих неравенств представлено тут http://bit.ly/ProizvFunk
5. Таким образом, при –∞ < x < –2 и 3 < x > +∞ данная функция возрастает, а при –2 < x < 3 она убывает.

Ответ: (–∞; –2) U (3; +∞) – функция возрастает; (–2; 3) – функция убывает.