В геометрической прогрессии все члены которой положительны, b1=1. b1,b2 и (b3-4) являются тремя последовательными членами

1. Известно, что последовательность (b_n, где n – натуральное число) является геометрической прогрессией, для которой b_n > 0 при всех натуральных n, причем  b₁ = 1. Кроме того, b₁, b₂ и (b₃ – 4) являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Необходимо найти четвёртый член геометрической прогрессии b₄.
2. Вспоминая определение арифметической прогрессии, имеем: b₂ – b₁ = b₃ – 4 – b₂ или 2 * b₂ – 1 = b₃ – 4, откуда b₃ = 2 * b₂ + 3.
3. Согласно определения геометрической прогрессии b₂ : b₁ = b₃ : b₂ или b₃ * b₁ = b₂ * b₂, откуда b₃ = (b₂)².
4. Следовательно, (b₂)² = 2 * b₂ + 3. Таким образом, получили следующее квадратное уравнение (относительно b₂): (b₂)² – 2 * b₂ – 3 = 0, которое имеет два корня 3 и –1. Корень –1 является побочным, поскольку, по условию задания b_n > 0 для всех натуральных n. Значит, b₂ = 3.
5. Находим знаменатель q данной геометрической прогрессии: q = b₂ : b₁ =3 : 1 = 3.
6. Тогда, b₃ = q * b₂ = 3 * 3 = 9 и b₄ = q * b₃ = 3 * 9 = 27.

Ответ: b₄ = 27.