Общим решением дифференциального уравнения sinxdx+cosydy=0 является

 Sinxdx + cosydy = 0;

Уравнение с разделяющимися переменными. Переносим cosydy в правую часть:

sinxdx = - cosydy;

Интегрируем обе части уравнения:

Интеграл sinxdx = Интеграл - cosydy;

-cosx = - siny + c;

Выражаем y:

siny = cosx + c;

y = (-1)^karcsin(cosx + c)  + pik, c - const, k из Z. 

Получили общее решение ДУ.