Упростите выражение (х²-х-12)/(х²+6х+9) + (12-4х)/(х²-9)

(х² - х - 12)/(х² + 6х + 9) + (12 - 4х)/(х² - 9).

Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители по формуле разложения квадратного трехчлена на множители ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2).

1) x² - x - 12 = 0.

По теореме Виета х1 = 4, х2 = -3.

х² - х - 12 = (х - 4)(х + 3).

2) х² + 6х + 9 = 0;

х1 = х2 = -3;

х² + 6х + 9 = (х + 3)².

Подставим разложения в исходную дробь.

((х - 4)(х + 3))/(х + 3)² + (12 - 4х)/(х² - 9).

Первую дробь сократим на (х + 3). В числителе второй дроби вынесем за скобку общий множитель (-4). Знаменатель второй дроби разложим на множители по формуле а² - в² = (а - в)(а + в), где а = х, в = 3.

(х - 4)/(х + 3) - 4(х - 3)/((х - 3)(х + 3)).

Вторую дробь сократим на (х - 3).

(х - 4)/(х + 3) - 4/(х + 3) = (х - 4 - 4)/(х + 3) = (х - 8)/(х + 3).