При каких значениях a график функций y=a+ax^2-2ax и y=2x имеют только одну общую точку?

   1. Найдем абсциссу точки пересечения графиков, решив уравнение:

• y = a + ax^2 - 2ax;
• y = 2x;

• a + ax^2 - 2ax = 2x;
• ax^2 - 2ax - 2x + a = 0;
• ax^2 - 2(a + 1)x + a = 0. (1)

   2. При a = 0 уравнение (1) не является квадратным и имеет единственное решение:

• 0 * x^2 - 2(0 + 1)x + 0 = 0;
• x = 0.

   Значение a = 0 удовлетворяет условию задачи.

   3. При a ≠ 0 уравнение имеет одно решение при нулевом дискриминанте:

      D/4 = (a + 1)^2 - a * a = a^2 + 2a + 1 - a^2 = 2a + 1;

• 2a + 1 = 0;
• 2a = -1;
• a = -1/2.

   Ответ: -1/2 и 0.