В треугольнике АВС (угол АВС равен 90), АС= 41, ВС= 40. через вершину А к плоскости треугольника проведен перпендикуляр,

В треугольнике АВС (угол В = 90°) вычислим длину второго катета АВ по теореме Пифагора:

АВ = √(АС² - BC²) = √(41² - 40²) = √(1681 - 1600) = √81 = 9.

Пусть ЕА - это перпендикуляр к плоскости АВС.

ЕА перпендикулярно АВ (так как ЕА перпендикулярно всей плоскости АВС и всем прямым, проходящим через точку А).

АВ перпендикулярно ВС (это катеты прямоугольного треугольника).

По теореме о трех перпендикулярах отрезок ЕВ будет перпендикулярен ВС. Значит, ЕВ - это искомое расстояние от конца перпендикуляра до катета ВС.

В треугольнике ЕАВ (угол А = 90°, так как ЕА перпендикулярно АВ) ЕА = 12, АВ = 9, вычислим длину ЕВ по теореме Пифагора:

ЕВ = √(ЕА² + AB²) = √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √225 = 15.

Ответ: расстояние от конца перпендикуляра до катета ВС равно 15.