Миша долго и безуспешно пытался найти такие два числа,чтобы их произведение и сумма делились на некоторое простое число,

Произведение двух чисел делится без остатка на некоторое простое число только в том случае, если на него делится хотя бы одно из этих чисел.

Обозначим искомые числа А и В, а простое число, на которые должна делиться их сумма и произведение за С.

Поскольку произведение А и В делится на С, то либо А, либо В должно делиться на С.

Пусть число А делится на С, а В не делится на С.

Тогда А можно представить в виде суммы N * C, где N некоторое целое число, а В в виде M * С + D, где М - некоторое целое число, а D остаток от деления В на С.

А + В =  N * C + M * С + D = (N + M) * C + D.

Таким образом, если одно из чисел делится на простое число, а второе не делится, то и их сумма не делится на это число.

Значит, подобрать числа так, как хотел Миша невозможно.

Ответ: невозможно подобрать такие числа, чтобы их сумма и произведение делились на некоторое простое число, при том, что хотя бы одно из них не делилось на это простое число.