В прямоугольник со сторонами 16см и 18см вписывается ромб, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника.

Дано: ABCD - описанный прямоугольник, A1B1C1D1 - ромб, PQRT - прямоугольник, AB = 16 см, BC = 18 см.Доказать: S1 : S2 = S2 : S3 = q.Найти: q.Решение: 1) Изобразим рисунок к задаче в соответствии с рисунком на первой фотографии.2) Найдем площадь S1 внешнего прямоугольника.Пусть AB = CD = a, BC = AD = b.S1 = ab = 16 × 18 = 288 (см^2).2) Найдем площадь S2 ромба A1B1C1D1.S2 = d1 × d2 × 1/2, где d1 = b, d2 = a.S2 = ab × 1/2 = 16 × 18 × 1/2 = 144 (см^2).3) Найдем площадь S3 прямоугольника PQRT.S3 = PT × PQ.a) Докажем, что TR = PQ = b/2.ΔA1AD1 = ΔA1BB1 = ΔC1CB1 = ΔD1DC1 (по трем сторонам).BA1 = A1A = CC1 = C1D = 16/2 = 8 см (по условию).BB1 = B1C = AD1 = D1D = 18/2 = 9 см (по условию).Проведем перпендикуляры TH, RH2, H3P, H4Q.Рассмотрим ΔA1AD1 (вторая фотография).ΔA1AD1 ~ ΔTHD1 (по трем углам: ∠TD1H - общий, ∠TA1A = D1TH как соответственные при AA1 || TH и секущей A1T, ∠A1AH = ∠THD1 = 90°) => стороны треугольников пропорциональны.AT = TD1 (по условию), A1D1 = 2TD1.A1D1/TD1 = 2 = k.AD1/HD1 = 2, AH = HD.Так как ΔA1AD1 = ΔA1BB1 = ΔC1CB1 = ΔD1DC1, D1H2 = H2D = AH = HD1 = BH3 = H4C = 1/4 × b = 1/4 × 18 = 4,5 см.Значит, PQ = TR = b - b/4 - b/4 = b/2 = 9 см.b) Докажем, что PT = QR = a/2.Проведем перпендикуляры PH5, QH6, TH7, RH1.Рассмотрим ΔC1DD1 (третья фотография).ΔC1DD1 ~ ΔCH1R (по трем углам: ∠RC1H1 - общий, ∠CRH1 = CD1D как соответственные при RH1 || D1D и секущей RD1, ∠CH1R = ∠CDD1 = 90°) => стороны треугольников пропорциональны.D1R = RC1 (по условию), D1C1 = 2RC1.D1C1/RC1 = 2 = k.C1D/C1H1 = 2, C1H1 = H1D.Так как ΔA1AD1 = ΔA1BB1 = ΔC1CB1 = ΔD1DC1, C1H1 = H1D = CH6 = H6C1 = BH5 = H5A1 = A1H7 = H7A = 1/4 × a = 1/4 × 16 = 4 см.Значит, PT = QR = a - a/4 - a/4 = a/2 = 8 см.c) S3 = a/2 × b/2 = ab × 1/4 = ab × (1/2)^2 = 72 см.4) Докажем, что площади этих фигур составляют геометрическую прогрессию.S1 : S2 = S2 : S3;288 : 144 = 144 : 72 = 2 : 1.S2 = S1 × q;S3 = S1 × q^2;Sn = S1 × q^(n-1).5) Найдем знаменатель геометрической прогрессии.S2 = S1 × q;q = S2 : S1 = 144 : 288 = 1/2.Ответ: q = 1/2.