Вычислите интеграл ∫¹₀ ⁸√ х dx

Перед тем, как подставить пределы интегрирования, необходимо найти первообразную. Для начала представим ⁸√х в виде x^1/8. Теперь найдём неопределённый интеграл:

F(x) = x^1/8+1/^­(1/8+1) + С = (8/9) * x^1/8+1 + С,

где С – произвольная константа интегрирования.

Вычислим определённый интеграл, используя известную формулу Ньютона – Лейбница:

F(a) – F(b) = F|_b^a;

F|₀¹ = F(1) – F(0);

Вычислим по отдельности F(1) и F(0), подставив пределы 1 и 0 в место x:

F(1) = (8/9) * 1^1/8+1 = 8/9 * 1 = 8/9;

F(0) = (8/9) * 0^1/8+1 = 0.

Подставим полученные значения в формулу Ньютона – Лейбница и найдём окончательно значение определённого интеграла:

₀¹∫⁸√х dx = 8/9 – 0 = 8/9.

Ответ: 8/9.