.сколько человек принимало участие в шашечном турнире,если известно, что сыграли друг с другом по одной партии, а всего

Пойдем от обратного.

Для определения числа партий, раз каждый участник турнира сыграл с друг другом по разу, была бы использована  формула нахождения количества сочетаний: C(n,m) = n! / (n - m)!m!,Определим количество участников турнира, подставив в формулу известные значения:

n! / (n - 2)!2! = 210;

n(n - 1) = 420;

n2 - n  - 420 = 0;

D = 1 - 4*(-420) = 1681 = 41²;

n₁ = (1 + 41 ) / 2 = 21;

n₂ = (1 - 41) / 2 = -20 (не удовлетворяет условию).

Ответ: На шашечном турнире принимал участие 21 спортсмен.